Понятие пропорции и пропорциональности — СтудИзба

ПОНЯТИЕ ПРОПОРЦИИ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ

 

Пропорции в архитектуре служат средством упорядоче­ния и установления закономерных взаимосвязей между всеми частями сооружения. Пропорция — это соотношение между ар­хитектурным сооружением в целом, и его частями, — между отдельными частями и их элементами. Пропорция (от лат. слова «proportio») — означает соразмерность. Удачно найденные пропор­ции являются одним из существенных моментов, определяю­щих художественную ценность сооружения.

Существует мною теорий пропорций, но для практиче­ской работы они могут иметь лишь подобное значение.

Модульная система пропорций известна со времен ан­тичности и лежит в основе архитектурных ордеров, где за модуль принят радиус нижнего основания колонны. Можно отметить геометрическую пропорциональную систему (кото­рая также называется иррациональной) и метод «подобия пропорций», разработанный немецким архитектором А.Тиршем в конце XIX в.

Наибольшее распространение получил метод пропор­ций, называемый «золотым сечением» (приближенные число­вые значения этой теории 5:3). Метод этот известен со времен Леонардо да Винчи. Но наиболее полно значение «золотого сечения» было отмечено в конце XIX в.

При выведении пропорциональности этим методом ис­ходят из того, что деление целого на 2 части пропорциональ­но тогда, когда меньшая так относится к большей, как боль­шая — к целому.

Вам также может быть полезна лекция «10.1 Компьютерные преступления».

Из последних работ, посвященных проблеме пропор­ций, представляет интерес система «модулор» архитектора Ле Корбюзье.

В ней сделана попытка увязать размеры, выраженные в метрах с размерами человеческой фигуры. Взяв за основу рост человека высотой 183 см и высоту человека с поднятой рукой — 226 см, Ле Корбюзье создал шкалу измерений из двух рядов, расчленив эти размеры в отношениях «золотого сече­ния» («красная» и «синяя» шкала).

Принцип этой системы измерений таков, что каждый последующий член «синей» шкалы может быть получен уд­воением предыдущего члена «красной» шкалы».

Достоинством этой системы является то, что все число­вые величины согласуются с основными параметрами челове­ка. Недостатком «модулора» является дробность величин, которая очень усложняет вычисление. На базе «модулора» Ле Корбюзье построил несколько архитектурных сооружений .

 

 

Урок 7. прямая и обратная пропорциональность. решение задач — Математика — 6 класс

Математика

6 класс

Урок № 7

Прямая и обратная пропорциональность. Решение задач

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Понятия прямой и обратной пропорциональной зависимости.
• Краткая запись условия задачи.
• Составление и решение пропорций по условию задачи.
• Решение задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

Тезаурус

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Основная литература

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Прямая пропорциональность.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Обратная пропорциональность.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Для решения задач на пропорциональную зависимость, удобно составить таблицу или сделать краткую запись условия.

Столбцы таблицы соответствуют наименованиям зависимых величин.

Строки таблицы соответствуют значениям величин при первом и втором измерении.

Одинаково направленные стрелки показывают прямо пропорциональную зависимость, противоположно направленные – обратно пропорциональную.

Задача.

Поезд, скорость которого 55 км/ч, был в пути 5 часов. За сколько часов пройдёт этот же участок пути товарный поезд, скорость которого 45 км/ч?

Решение.

При постоянном пути скорость и время движения обратно пропорциональны.

Допустим, товарный поезд пройдёт этот же путь со скоростью 45 км/ч за x ч.

Сделаем краткую запись условия.

Задача.

Двигаясь с постоянной скоростью, велогонщик проезжает 40 метров за 3 с. Какой путь проедет велогонщик за 45 с?

Решение.

При постоянной скорости путь прямо пропорционален времени движения.

Пусть х м проедет велогонщик за 45 с.

Сделаем краткую запись условия.

Задача.

Усилие при восхождении на высоту 600 м равно усилию, требуемому для перехода 25 км по равнине. Турист поднялся в горы на 792 м. Какому расстоянию на равнине соответствует этот подъём?

Решение:

Решение.

Задача.

Четыре программиста могут написать игру за 12 месяцев. За сколько месяцев эту работу могут выполнить три программиста?

Решение.

Количество программистов и скорость написания игры – это обратно пропорциональная зависимость.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Подстановка элементов в пропуски в тексте.

Подставьте нужные элементы в пропуски.

Пешеход шёл 3 часа со скоростью 8 км/ч. За сколько часов он пройдёт то же расстояние со скоростью 6 км/ч?

Решение:

При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – ______ пропорциональны.

Пусть _____ часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.

Составим пропорцию:

_________

х=_______

х=_______(ч).

Правильный ответ.

Решение:

При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – обратно пропорциональны.

Пусть х часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.

№ 2. Подстановка элементов в пропуски в таблице.

Заполните таблицу.

Поезд движется со скоростью 45 км/ч. Какое расстояние он пройдёт, если будет в пути 3 ч; 4 ч; 5 ч; 6 ч.

Варианты ответов:

135 км;

180 км;

225 км;

270 км.

Решение.

При постоянной скорости пройденный путь и время прямо пропорциональны. Скорость движения поезда 45 км/ч означает, что за 1 час поезд преодолевает расстояние в 45 км. Обозначим за x км – расстояние, которое поезд пройдёт за 3, 4, 5 и 6 часов.

Таким же способом находим расстояние, которое пройдёт поезд за 4, 5 и 6 часов, и подставляем соответствующие варианты в таблицу.

Ответ:

Прямая и обратная пропорциональность. Формулы, обозначение, примеры

 

Основные определения

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

Виды зависимостей:

• Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.
• Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.

Зависимости также можно классифицировать по формам: функциональная и статистическая.

Функциональная зависимость между двумя переменными величинами характеризуется тем, что каждому значению одной из них соответствует вполне определенное и единственное значение другой.

В математике функциональной зависимостью переменной Y от переменной Х называют зависимость вида y = f(x), где каждому допустимому значению X ставится в соответствие по определенному правилу единственно возможное значение Y.

Статистическая зависимость — это зависимость случайных величин, когда изменение одной переменной приводит к изменению другой.

Если изменение одной из случайных величин влечет изменение среднего другой случайной величины, то статистическую зависимость называют корреляционной. Сами случайные величины, связанные корреляционной зависимостью, оказываются коррелированными.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

• Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одно числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.
• Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой

k.

 

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

• при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;
• периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;
• стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.

Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.

Формула прямой пропорциональности y = kx, где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

y/x = k

Графиком прямо пропорциональной зависимости величин является прямая линия.

Например, при k = 2 график выглядит так:

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

Как решаем:

 

1. Вспомним формулу для определения пути через скорость и время: S = V * t.


2. Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений: 70 * 2 = V * 7


3. Найдем скорость второго автомобиля: V = 70 * 2/7 = 20

Ответ: 20 км/ч.

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?

Как рассуждаем:

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.

Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:

• х = 1 (блогер) * 30 (раз) : 12/8 (дней).
• х = 1 * 30 : 12/8
• х = 20

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

 

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».

Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

• время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;
• при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;
• количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.

Формула обратной пропорциональности y = k/x где y и x — это переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

xy = k.

Графиком обратно пропорциональной зависимости величин является гипербола.

Свойства функции обратной пропорциональности:

 

1. Область определения — множество всех действительных чисел, кроме x = 0.

   D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).



2. Область значений — все действительные числа, кроме y = 0.

   Е(у): (-∞; 0) U (0; +∞).



3. Не имеет наибольших и наименьших значений.


4. Является нечетной, и ее график симметричен относительно начала координат.


5. Непериодическая.


6. Ее график не пересекает оси координат.


7. Не имеет нулей.


8. Если k > 0 (аргумент возрастает), функция пропорционально убывает на каждом из своих промежутков. Если k < 0 (аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.


9. При возрастании аргумента (k > 0) отрицательные значения функции находятся в промежутке (-∞; 0), а положительные — (0; +∞). При убывании аргумента (k < 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные — (-∞; 0).

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

Как рассуждаем:

 

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.


2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.


3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Как решаем:

 

1. Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию: 30 : 24 = 5 : х


2. Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член: х = 24 * 5 : 30; х = 4


3. Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Как рассуждаем:

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Обозначим: =

v1 = 75 км/ч

v2 = 52 км/ч

t1 = 13 ч

t2 = х

Как решаем:

 

1. Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.

   Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.



2. Подставим известные значения: 75/52 = t2/13
   

Ответ: 18 часов 45 минут.

§5 Пропорции. Основы рисунка для учащихся 5-8 классов

§5 Пропорции

Мы признаем определенные пропорциональные отношения в построении фигуры человека, его окружения, архитектуры, как нечто должное. Эмоциональное начало художественного творчества проверяется точной наукой. Выдающиеся мастера былых эпох постоянно стремились проверить алгеброй гармонию, впрочем, математика античности, средневековья и Возрождения была лишена сухости и абстрактности.

Когда мы знакомимся с историей искусства, любуемся совершенными произведениями, например античной статуей или храмом, картинами Леонардо да Винчи, Рафаэля, Энгра, то нас поражает удивительная гармония, присущая им, которая во многом определяется таким эстетическим качеством, как пропорциональность целого и деталей. Слово «пропорция» в переводе с латыни обозначает «соотношение», «соразмерность». Сравнивая предметы, окружающие нас, по величине, высоте, ширине, объему мы можем сказать, что одни из них длинные, а другие короткие, высокие и низкие, широкие и узкие, большие и маленькие и т. д. Устанавливая соотношение между предметами и между частями формы отдельного предмета, мы выясняем их пропорциональные характеристики.

Пропорциями называются размерные соотношения элементов или частей формы между собой, а также между различными объектами.

75. Измерение высоты (а) и ширины (б)

Проверять пропорции можно с помощью обычного карандаша или кисточки, при этом держать их следует на вытянутой руке.

76. Определение пропорций

Для удобства определения пропорций методом визирования можно прищурить один глаз. С помощью длины карандаша уточняют также степень наклона всей формы.

Пропорция – это гармонизация формы художественного произведения, пропорциональность – ее эстетическое качество. Соразмерность частей образует красоту формы. В основе определения пропорций лежит метод сравнения. Все эти свойства лежат и в основе грамотного рисунка. В художественной практике существует известный метод определения пропорций, называемый визированием.

Однако никакие механические способы определения пропорций не могут заменить развитого глазомера. Именно эту способность необходимо развивать в себе тренировкой.

Рисуя, нужно помнить, что мы изображаем предметы несколько меньшими их натуральной величины, поэтому необходимо придерживаться единого масштаба для определения пропорций всех объектов изображения, составляющих композицию. Таким образом, выдержать пропорции в рисунке – значит добиться соотношения величин всех частей предмета к целому в пределах выбранного формата листа.

Поиск пропорций в изображении фигуры человека является сложной задачей. Обратимся к истории, посмотрев, как решали ее художники разных эпох и разных культур.

77. Композиция пропорций человека в Древнем Египте

Единицей измерения фигуры у древнеегипетских художников служила длина среднего пальца руки, вытянутой вдоль бедра.

В Древнем Египте для изображения человеческой фигуры был разработан специальный канон – то есть такая система пропорций человеческой фигуры, которая делила изображение на части и позволяла по части определить целое и по одной части тела определить другую. Известно, что египтяне положили в основу деления фигуры 21 1/4 части. В это число входили 19 равных частей разделения самой фигуры, а 2 1/4 части приходились на изображение традиционного головного убора (ил. 77), Египтяне пользовались и специальными сетками-таблицами, которые наносили на поверхность каменной плиты или стены для создания рельефа или росписи (ил. 34а).

На сохранившихся и дошедших до нас памятниках можно видеть, что горизонтальные и вертикальные линии делят рисунок в определенных местах, что соответствует членению фигур на части. Были установлены также определенные размеры для изображения сидящих фигур и изображения разных богов в соответствии с их иерархическим старшинством (одни должны быть выше, другие немного ниже). Детей изображали как взрослых, но значительно меньшими по размеру. Художнику необходимо было знать установленные каноном нормы и научиться вписывать в них изображения, пользуясь сеткой-таблицей. Единая система обучения и строгое соблюдение выработанных норм позволяли выполнять части одного произведения разными мастерами. Когда такие части составляли в единую композицию, то они точно сходились и не было нарушения пропорций.

Вся история учения о пропорциях связана с поисками законов гармонии и красоты. В Древней Греции систему идеальных пропорций человеческой фигуры создал скульптор Поликлет в V веке до н. э. Его теоретическое сочинение на эту тему называлось «Канон», а выражением в скульптуре этой системы явилась его статуя «Дорифор», что означает копьеносец. Мастер изобразил атлета-юношу, победителя в соревнованиях по метанию копья, в момент, когда после одержанной победы он совершает круг почета по стадиону и его приветствуют восторженные зрители.

Открытие пропорций, полагают, принадлежит к заслугам древневосточной математики, античная же традиция связывает его с именем выдающегося философа и математика Пифагора, жившего в VI веке до н. э. Универсальный принцип гармонии и красоты в пропорциях получил название «золотое сечение», которое олицетворяло равновесие знания, чувств и силы. Золотое сечение возникает при делении отрезка на две неравные части таким образом, при котором весь отрезок относится к большей его части, как большая к меньшей (0,618).

78. ПОЛИКЛЕТ. Дорифор

Поликлет создал новые членения пропорций человеческой фигуры, однако точных сведений о том, что именно было выбрано за единицу меры – величина ладони, ступни или высота головы,- не сохранилось.

79. С. БОТТИЧЕЛЛИ. Канон пропорций

80. МИКЕЛАНДЖЕЛО. Пропорции фигуры человека

Знакомство с золотым сечением сыграло немалую роль в работе античных архитекторов, скульпторов и живописцев. Обучающимся рисунку будет интересно узнать правило, наглядно прослеживающееся в древнегреческих статуях: при делении туловища человека в соответствии с золотым сечением легко найти уровень пупа и локтя, при повторном делении двух отрезков в противоположных направлениях определяется высота колена и нижний уровень шеи.

Примерами использования золотого сечения может быть античная голова Афродиты и любое из произведений художника Рафаэля. В поисках гармонии художники интуитивно всегда следовали этому принципу и в той или иной мере приближались к идеальным соотношениям, но теоретически принцип золотого сечения был сформулирован в эпоху Возрождения. Леонардо да Винчи, изучавший и глубоко анализировавший опыт древних, разрабатывая правила изображения человеческой фигуры, пытался на основе литературных сведений восстановить так называемый «квадрат древних». Он выполнил рисунок, в котором показана пропорциональная закономерность в соотношении частей тела человека.

Над выработкой канонов пропорций трудились такие знаменитые мастера эпохи Возрождения, как С. Боттичелли и Микеланджело. Проблема поиска системы идеальных пропорций остается актуальной и для художников и архитекторов XX века. Французский зодчий Jle Корбюзье в 1947 году разработал «Модулор» – систему деления человеческой фигуры на согласованные в золотом сечении отрезки от ступни до талии, от талии до затылка и от затылка до верха пальцев поднятой руки. На этой основе была создана школа модулей для архитектурного проектирования и дизайна.

Античное искусство установило идеальные пропорции и для головы человека, согласно которым она по вертикали от темени до конца подбородка делится на две равные части линией глазных впадин (ил. 83). Каждую из этих половин можно, в свою очередь, разделить на две равные части: верхнюю – линией волос, а нижнюю – основанием носа. Получается четыре равные части. Расстояние между глазами принимается равным ширине крыльев носа.

81. ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ. «Квадрат древних»

82. ЛЕ КОРБЮЗЬЕ. Модулор

Расстояние от бровей до основания носа определяет величину ушей. В действительности редко встречаются у людей такие идеальные пропорции, но знать их необходимо, чтобы видеть отклонения от нормы и лучше понимать индивидуальные пропорции живой натуры.

Пока общая форма головы не решена, не найдены ее пропорции, нельзя переходить к отделке деталей. Портретное сходство зависит во многом от правильно выдержанных общих пропорций.

Следует помнить, что при определении пропорций лучше сравнивать отношения нескольких деталей на рисунке с соотношениями таких же деталей в натуре.

Переходя к эмоциональной характеристике портретируемого, полезно изучить схемы лица при различных психологических состояниях на ил. 84.

83. Пропорции головы

84. Схематическая таблица сокращения мускулов лица при различных психологических состояниях (по М. Дювалю): 1 – спокойствие, 2 – печаль, 3 – радость, 4 – боль, 5 – смех, 6 – плач, 7 – презрение, 8 – внимание, 9 – размышление

Посмотрите, как с помощью самых простых средств, всего лишь опуская или приподнимая уголки губ, брови или веки, можно передать печаль, радость, боль, смех, презрение, внимание и т. д. (ил. 84-85).

85. Лица в различном эмоциональном состоянии

Внеклассный урок — Пропорции. Основное свойство пропорции. Прямая и обратная пропорциональность.

Пропорции. Основное свойство пропорции. Прямая и обратная пропорциональность.

Пропорция – это равенство двух отношений.

 

Примеры пропорции:

10 : 2 = 25 : 5

 

1        3
— =  —
 2       6

 

В пропорции первое и четвертое числа называют крайними членами, второе и третье – средними членами.

В нашем первом примере 10 и 5 являются крайними членами, а 2 и 25 – средними.

Во втором примере 1 и 6 – крайние члены, 2 и 3 – средние.

 

Если пропорция верна, то произведение крайних членов равно произведению средних.

В нашем первом примере 10 · 5 = 2 · 25.

В нашем втором примере 1 · 6 = 2 · 3

 

Основное свойство пропорции:

Если произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов, то пропорция верна.

Пропорция 10 : 2 = 25 : 5 верна, так как 10 · 5 = 2 · 25.

 

Прямая пропорциональность:

Две величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной из них увеличивается и вторая, или при уменьшении одной уменьшается и вторая.

 

Пример прямой пропорциональности: чем выше скорость автомобиля, тем выше сопротивление воздуха.

 

Обратная пропорциональность:

Две величины обратно пропорциональны, если при увеличении одной из них вторая уменьшается, или при уменьшении одной вторая увеличивается.

 

Пример обратной пропорциональности: чем выше в горы, тем ниже температура воздуха.

 

Пропорция, пропорционирование

Пропорция, пропорционирование   ПРОПОРЦИОНИРОВАНИЕ (от лат. Proportio — «соотношение, соразмерность частей«) — разновидность трансформации, способ установления определенных отношений частей формы. Пропорциями называются размерные соотношения эле­ментов или частей формы между собой, а также между различными объектами. Пропорция — это гармонизация формы художественного произведения, пропорциональность ее эстетическое качество. Соразмерность частей образует красоту формы. Мы признаем определенные пропорциональные отношения в построении фигуры человека, его окружения, архитектуры, как нечто должное. Эмоциональное начало художественного творчества проверяется точной наукой.Выдающиеся мастера былых эпох постоянно стремились проверить алгеброй гармо­нию, впрочем, математика античности, средневековья и Воз­рождения была лишена сухости и абстрактности. Пропорция — равенство двух или более отношений. Например, математическое выражение 1:2 = 3:6 называют пропорцией, поскольку его левая и правая части равны между собой. Наименьшее число в таких отношениях именуют модулем, его, как правило, избирают в качестве единицы измерения. Среди множества возможных пропорций существует единственное решение, в котором уравниваются не только отношения частей формы, но всех частей между собой и отношение каждой части к целому. Такая пропорция называется «божественной«, или «золотой серединой» (лат. aurea mediocritas). В искусстве способ пропорционирования используют в качестве основного средства гармонизации формы художественного произведения, поскольку гармония, в отличие от красоты, подлежит геометрическому и математического анализу. Когда мы знакомимся с историей искусства, любуемся совершенными произведениями, например античной статуей или храмом, картинами Леонардо да Винчи, Рафаэля, Энгра, то нас поражает удивительная гармония, присущая им, которая во многом определяется таким эстетическим качеством, как пропорциональность целого и деталей. Сравнивая предметы, окружающие нас, по величине, высоте, ширине, объему мы можем сказать, что одни из них длинные, а другие короткие, высокие и низкие,широкие и узкие, большие и маленькие и т. д. Устанавливая соотношение между предметами и между частями формы отдельного пред­мета, мы выясняем их пропорциональные характеристики. Поиск пропорций в изображении фигуры человека является сложной задачей.Обратимся к истории, посмотрев, как решали ее художники разных эпох и разных культур. В Древнем Египте для изображения человеческой фигуры был разработан специальный канон — то есть такая система пропорций человеческой фигуры, которая делила изображение на части и позволяла по части определить целое и по одной части тела определить другую. Известно, что египтяне положили в основу деления фигуры 21 1/4 части. В это число входили 19 равных частей разделения самой фигуры, а 2 % части прихо­дились на изображение традиционного головного убора. Египтяне пользовались и специальными сетками-таблицами, которые наносили на поверхность каменной плиты или стены для создания рельефа или росписи. На сохранившихся и дошедших до нас памятниках можно видеть, что горизонтальные и вертикальные линии делят рису­нок в определенных местах, что соответствует членению фигур на части. Были установлены также определенные размеры для изображения сидящих фигур и изображения разных богов в соответствии с их иерархическим старшинством (одни должны быть выше, другие немного ниже). Детей изображали как взрослых, но значительно меньшими по размеру. Художнику необходимо было знать установленные каноном нормы и на­учиться вписывать в них изображения, пользуясь сеткой-таб­лицей. Единая система обучения и строгое соблюдение вырабо­танных норм позволяли выполнять части одного произведения разными мастерами. Когда такие части составляли в единую композицию, то они точно сходились и не было нарушения пропорций. Изучение математических отношений,заложенных в  пропорциях египетскихп ирамид, а также исследования архитектора И. П. Шмелева,посвященные личности зодчего Хеси-Ра (егип. Hesi-Ra —»Отмеченный солнцем«), жреца бога Гора и главного архитектора фараона Джосера (ок. 2800—2700 гг. до н. э.), позволили установить, что египтяне пользовались отношениями чисел: 1:3, 2:3,4:3. Анализ изображений 11 деревянных панелей, найденных в 1912 г. в гробнице зодчего Хеси-Ра в Саккара, доказывает (во всяком случае геометрически), что в них зашифрован «ключ» золотого сечения. Хеси-Ра стал одиннадцатым верховным жрецом. Заглавная панель имела название «декан» (греч. dekanos— «десятник«), а два жезла, изображенные в руках Хеси-Ра (в отношении: 0,882 и 0,5 или √5:1), являются не чем иным, как инструментом, позволяющим без математических вычислений пользоваться всеми  функциями золотого сечения. Перед фигурой сидящего жреца-зодчего показан столик, на котором установлен камертон — инструмент настройки звука на гармоничную частоту. Исследования пропорций пирамид подтверждают, что канон пропорций египетской архитектуры включал числа 3:4:5 (стороны «египетского священного треугольника»), а также диагональ «двусмежного квадрата«, равную √5. Пифагор, обобщая данные, которые он отчасти почерпнул в Египте, ввел в созданную им теорию гармонии понятия пентатоники (греч. pente — «пять» и tonos— «натяжение, напряжение») — пяти ступеней октавы (ряда из восьмиступеней) и пентахорда (греч. chorde — «струна»). Пифагор использовал средние пропорциональные числа: арифметическое c=(a+b)/2, геометрическое c=√ab, гармоническое c=2ab/a+b, а также наиболее сложную музыкальную пропорцию a:(a+b/2)=(2ab/a+b):b или 12:9=8:6. Созвучие квинты музыкального звукоряда построено на отношении чисел 2:3. Известно также, что  Иерусалимский храм, возведенный в 1010 г. до н. э., имел план сотношением сторон 1:3. Исследования пифагорейцев позволили разделить смысл понятий «соразмерность«и «пропорциональность«. Так открытое Пифагором свойствоколебания струн, длина которых выражена отношениями простых целых чисел,создавать полнозвучные аккорды, легло в основу понятия гармонии Абсолюта,»небесной музыки сфер«, данной человеку в явлениях природы. Эти явления греки и называли «симметрией» — соразмерностью. С глубокой древности человека волновали идеи уподобления своих творений прекрасным проявлениям природы, преображения хаоса в космос, числовые закономерности, которые лежат в основе устройства Вселенной. Древние эллины воспринимали пространство исключительно оптически: целостным и непрерывным, а в архитектуре использовали целые числа ирациональные приемы, основанные на кратных отношениях, хотя и вводили оптические поправки, нюансирование, придававшие отношениям величин дробность и легкую «неправильность«. Вся история учения о пропорциях связана с поисками законов гармонии и красоты. В ДревнейГреции систему идеальных пропорций человеческой фигуры создал скульптор Поликлет в V векедо н. э. Его теоретическое сочинение на эту тему назы­валось «Канон», а выражением в скульптуре этой системы явилась его статуя «Дорифор», что означает копьеносец. Мастер изобразил атлета-юношу, победителя в соревнованиях по метанию копья, в момент, когда после одержанной победы он совершает круг почета по стадиону и его приветствуют восторженные зрители. Пропорция, или «аналогия«, как ее называли греки, есть соответствие между частями и целым по отношению к части(модулю), принятой за исходную величину. Соотнесение симметрии с метрическим строем, а пропорциональности — с ритмическим рядом величин составляет сущность «Канона» древнегреческого скульптора Поликлета, который также связан с правилом золотого сечения. Открытие пропорций, полагают, принадлежит к заслугам древневосточной математики, античная же традиция связывает его с именем выдающегося философа и математика Пифагора, жившего в VI веке до н. э. Универсальный принцип гармонии и красоты в пропорциях получил название «золото сечение», которое олицетворяло равновесие знания, чувств и силы. Зо­лотое сечение возникает при делении отрезка на две неравные части таким образом, при котором весь отрезок относится к большей его части, как большая к меньшей (0,618). Античное искусство установило идеальные пропорции и для головы человека, согласно которым она по вертикали от темени до конца подбородка делится на две равные части линией глазных впадин. Каждую из этих половин можно, в свою очередь, разделить на две равные части: верх­нюю — линией волос, а нижнюю —основанием носа. Получа­ется четыре равные части. Расстояние между глазами принимается равным ширине крыльев носа. Расстояние от бровей до основания носа определяет величи­ну ушей. В действительности редко встречаются у людей та­кие идеальные пропорции, но знать их необходимо, чтобы видеть отклонения от нормы и лучше понимать индивидуальные  пропорции живой натуры. Знакомство с золотым сечением сыграло немалую роль в работе античных архитекторов, скульпторов и живописцев. Древнегреческие строители при расчете зданий пользовались эпиморными отношениями, в которых, в отличие от простых кратных (1:2, 1:3, 1:4), превышение большей части равняется одной доле меньшей (греч. epi — «сверх, над»;morion, moros — «часть, член, частица»). Например: 2:3, 3:4, 8:9. Эллины не дробили единицу, считая ее наименьшей из возможных величин, и использовали её в качестве модуля. Поэтому пропорции древнегреческих храмов, в частности отношения количества колонн на переднем и боковых фасадах, следуют эпиморной формуле: n:(n+1). Эту и производные закономерности древние греки обозначали словом «ana-logia» — соответствие, правильное соотношение, расчет (дословно: «вновь-отношение»). Древнеримский оратор и писатель Цицерон (106—43 гг. до н. э.), переводя сочинения древнегреческого философа Платона на латинский язык, сделал со слова аналогия «кальку» (лат. Pro-portio — «вновь-отношение») и стал автором термина, который пережил многие столетия и существует до сих пор. Однако содержание этого термина много сложнее его буквального прочтения: пропорции есть не отношения величин между собой, а их уравнивание, в чем и заключается математический смысл понятия гармонии. Древнегреческому поэту Иону (ок. 490—422 гг. до н. э.) с о. Хиос приписывают философское сочинение «Триагма» (греч. triagma — «троичность») о господстве численных отношений троичности. Трехчастное деление свойственно композиции античной архитектуры. В философии Платона (427—347 гг. до н. э.) понятие пропорции связывается с явлением симметрии (греч. Syn-metria — «соразмерность»), поскольку Бог сотворил мир из четырех элементов (огня, земли, воды и воздуха), а «тело космоса упорядочено благодаря  пропорции» этих элементов. В учении Платона о гармонии сохраняется пифагорейская традиция, которая восходит к учению древнеегипетских жрецов. Пропорциональность — более сложное качество, оно отражает целостность сложносочиненной формы, т. е. закономерную взаимосвязанность всех ее частей и внутренних членений. Именно такое понимание легло в основу средневековой эстетики. В частности, в сочинениях Боэция (480—524), «последнего римлянина» и неоплатоника, квадривиум (единство четырех наук) рассматривается согласно пифагорейской традиции. Первая часть квадривиума — арифметика — представляет собой теорию единства всех вещей, в которой числа объединяет «пропорция«, поэтому последняя выражает единство Вселенной. Геометрия, вторая часть квадривиума, объясняет качества вещей, третья часть — музыка — выражает время, а четвертая — астрономия — охватывает все, поскольку представляет собой учение о ритме Вселенной. Древнеримский архитектор Витрувий (I в. до н. э.), который канонизировал композиционные приемы античной архитектуры, понимал симметрию («соразмерность«) как метрический строй (равномерные членения формы, на котором основан канон), а пропорцию считал ритмической организацией элементов композиции. Витрувий дополняет «Канон Поликлета «идеальными размерами частей мужской фигуры: длина ладони — 1/10 высоты фигуры, размер головы — 1/8, стопы — 1/6,локтя — 1/4, ширина груди — 1/4. Причем эти размеры приведены не в разделеProportio, а в разделе Symmetria, в котором автор оперирует исключительно кратными величинами. Пропорции, согласно теории Витрувия, —результат приведения всех размеров к нужному масштабу (уменьшению или увеличению относительно роста человека). Они являются практическим инструментом архитектора и скульптора. Важное значение в теории Витрувия имеет понятие модуса (лат. modus — «протяжение, предел, положение«), или лада, — согласованности всех частей формы на основе какого-либо элемента (чаще всего модуля). Модальность, или ладовость, придает пропорциональному строю эмоциональную окраску, тональность. Витрувий и его последователи, создатели архитектурной теории Классицизма, выделяли три основных модуса: дорический, ионический и коринфский. Дорическому модусу с отношением высоты колонны к нижнему диаметру 1:7 соответствует интервал октавы пифагорейского гармонического звукоряда (12:6, или 2:1), что и определяет мощный, суровый, мужественный стиль дорийской архитектуры. Ионическому модусу с отношением высоты колонны к ее нижнему диаметру 1:8 соответствует музыкальный интервал квинты (12:8, или 3:2), второй после октавы, что определяет утонченный, изящный образ ионических построек. Коринфскому модусу с отношением высоты колонны к ее нижнему диаметру 1:9 соответствует музыкальный интервал кварты (12:9, или 4:3), или энгармонический строй, определяющий изысканно-пышный образ коринфского  храма . Далее к системе математического расчета пропорций прилагается эвритмия (греч.eurhythmia — «стройность, ритмичность«) — система нюансирования оптических поправок. Она создает «приятную внешность и подобающий вид» (лат. venusta species et commoduscue aspectus). Примечательно еще одно определение Витрувия: пропорция — это то, «чтокажется гармоничным» (т. е. математическая закономерность с поправками на особенность зрительного восприятия). Согласно одной из концепций, в античном искусстве существовало два течения, условно называемые «симметрическим» и «эвритмическим«. Они могут быть соотнесены саполлоновским и дионисийским началами в искусстве либо с «классическим» и»современным» стилями (такие формулировки встречаются у античных авторов). Модуль в истории архитектуры также не является постоянной величиной. Основным модулем всегда был «фут» (греч. pous — «стопа, нога»). Его размер в разное время ив разных областях античного мира колебался в пределах 0,295—0,310 м. Длина восточной части наоса и ширина главного фасада Парфенона в Афинах равняется ста греческим футам. Эта исходная мера заложена в пропорциях многих классических сооружений: храма Посейдона в Пестуме, Гефестейона в Афинах, базилики Максенция и Константина и огромного Пантеона в Риме. Создается впечатление, что эта мера была неписанным правилом, хотя она не имела символического значения, не сказывалась на внешнем облике здания или прочности его конструкции. В то же время римляне, которые оперировали в своей архитектуре кратными числами, в качестве модуля избирали 5/2 каких-либо единиц линейной меры: локтей или футов. Эту странность можно объяснить тем, что при любых построениях на основе золотого сечения отношение 5:2 дает удобные производные (чаще получался модуль, равный 5 римским футам, или 1,55 м). По канону Витрувия, модуль четырех колонного фасада здания (за модуль принимали нижний диаметр колонны) равняется 1/27 его ширины, шести колонного — 1/42 части. В эпоху Итальянского Возрождения Дж. Виньола делил модуль на разное количествопарт (итал. parte — «часть»), архитектор А. Палладио — на минуты(лат. minuta — «мелочь«). Л. Б. Альберти в качестве модуля использовал одну шестую роста фигуры человека. В Средневековье система пропорционирования была проще. Типичная схема центрических храмов заключалась в том, что всю постройку вписывали в квадрат со стороной в 100 традиционных футов. Для базилик удлиненного плана длину храма устанавливали по диагонали квадрата, построенного на ширине главного фасада. Такая схема восходит к системе, принятой в ранней античности. В большинстве случаев у храмов разных типов высота вместе с куполом равняется длине нефа (с апсидой либо без апсиды). Средокрестие представляет собой в плане квадрат Л. Б. Альберти в проекте западного фасада церкви Санта Мария Новелла во Флоренции (1458) применил оригинальный прием сочетания квадратуры и средневековой триангуляции: фасад вписан в три равных квадрата. В поперечном сечении по средокрестию многие базилики представляют собой квадрат, диагональ которого, поднятая в вертикальную плоскость, дает высоту барабана до основания купола. Другим модулем является диагональ подкупольного квадрата. Все вариации осуществляются в пределах одной схемы. В византийских иконах, мозаиках и фресках наблюдался отказ от античного принципа антропометрии и поиска наиболее гармоничных природных пропорций. Средневековый способ пропорционирования можно назвать плоскостной, или планиметрической, схематизацией. В техническом аспекте он имел явные преимущества, поскольку позволял даже неумелым мастерам легко пользоваться общепринятой схемой. Однако происхождение этих схем объясняется не стремлением демократизировать искусство, а особенным пониманием изобразительного пространства. Объем физических тел и физическое пространство в средневековом изобразительном искусстве обесценивались, они не имели принципиального значения, поэтому объемные и пространственные факторы не могли играть существенной роли в системе пропорционирования изображений. В «Учебнике афонских иконописцев» за единицу всех размеров фигуры принимается лик (в Италии — testa— «голова«). Длина лица укладывается девять раз в высоте фигуры (что отлично от античных пропорций) и,в частности, три раза в высоте торса. Лик делится на три равные части по высоте независимо от характера изображаемого персонажа: высота лба, носа и от основания носа до подбородка. Голова, по византийскому канону, строится в «схеме трех радиусов«. Внутренний радиус, равный длине носа, определяет центральную часть лика, средний круг радиусом, равным двум длинам носа, образует абрис головы; внешний радиусом, равным трем единицам, — нимб. Отсюда типичная округлость голов, получаемая с помощью циркуля, свойственная в равной степени иконописным образам Св. Петра и Павла, Андрея, Св. Николая, Ильи и других. Подобный канон сохраняется в произведениях Джотто, Чимабуэ, даже при ракурсных изображениях и перспективном сокращении фигур вертикальные размеры «трех кругов» остаются при этом неизменными. Согласно концепции «соответствий» и утверждению Августина Блаженного (354—430; Отцы Церкви), Ноев ковчег имел отношения сторон 300:50:30 локтей, таковы же должны быть пропорции идеальной человеческой фигуры — рост, ширина и толщина должны соотноситься как 30:5:3 (так называемый августиновский канон). Средневековая теория пропорций (в отличие от свода технических правил изображения) неотрывна от метафизического понимания формы и пространства. Эта теория, как отмечал Э. Панофский, не была связана с потребностями изобразительного искусства. Даже более того, «как только подобная связь возникала, теория пропорций вырождалась в свод практических правил,терявший всякую связь с гармонической космологией«. Характерно, что средневековые авторы, изучая трактат Витрувия, многое из него заимствовали, но полностью игнорировали рассуждения о пропорциях. В средневековой арабской эстетике пропорциональность также не входит в число двадцати категорий прекрасного. Только в эпоху Итальянского Возрождения метафизика и техника пропорционирования снова соединяются. Гармоничные пропорции фигуры человека, здания, статуи рассматривали как непременное условие создания произведения искусства — отражения предустановленной Божественной красоты. При этом метафизическое толкование прекрасного весьма неустойчивым образом соединялось с рациональными приемами пропорционирования. Ренессансные ученые-гуманисты по-новому прочли Витрувия, а затем через арабские переводы — сочинения Аристотеля и Платона. В симметрии спиральной раковины наутилуса увидели образ Вселенной и численный ряд Фибоначчи. В результате древнегреческая «соразмерность«(греч. Symmetria) обрела метафизический смысл. Гравюра А. Дюрера «Адам и Ева«(1504) родилась в результате штудий пропорций фигуры человека по трактату Витрувия, в которых голова составляет 1/8 высоты фигуры. Однако в отличие от своих предшественников Дюрер использовал не один, а три канона пропорций фигуры (1:9,1:8, 1:7) в зависимости от характера изображаемого персонажа. Л. Б. Альберти в трактате «Десять книг о зодчестве» (1444—1450) не удовлетворяется цитированием  Витрувия, а изобретает собственные отношения и модули. Монах-францисканец Л. Пачьоли разрабатывает собственную теорию математической гармонии. В 1487 г. он опубликовал трактат «Сумма арифметики и геометрии«. Основная идея, которая волновала рациональномыслящих художников, заключалась в том, каким образом согласовать прекрасные пропорции природного объекта, поддающиеся математическому анализу, с пропорциями изображения этого объекта на плоскости бумаги, холста или в массиве мраморного блока. Эта двойственность объясняет путаность многих рассуждений Леонардо да Винчи и противоречия в трактате А. Дюрера «О пропорциях человеческого тела» (1528). Художникам требовался не абсолютный канон красоты, а система относительных пропорций, которая позволяла бы сохранять гармоничные отношения частей,увеличивая или уменьшая композицию в требуемом масштабе. Тогда-то, возможно впервые, была осознана главная идея искусства пропорционирования: не вычислять, а создавать впечатление гармонии, когда большое кажется не столь огромным, а малое — не таким малым. Другими словами, пропорционирование было поставлено в зависимость не только от конструкциии абсолютных размеров объекта, но и от масштаба —зрительной оценки величины. Масштабное или, что то же самое, пространственное понимание пропорций не было известно ни древним эллинам, ни средневековым мастерам. Однако примечательно, что в эпоху Возрождения наиболее консервативным мыслителем оказался гениальноодаренный Леонардо да Винчи. Он настойчиво продолжал искать гармонию пропорций исключительно в природе, т. е. в конструкции природного объекта, например в анатомическом строении тела человека, расширяя сферу наблюдений и пытаясь вывести некие усредненные, идеальные данные. Отчасти этим можно объяснить тот факт, что Леонардо не удалось обобщить собранные им сведения в единую систему. Подобная задача попросту не имеет решения, даже с учетом «оптических поправок«. Более перспективными оказались труды Дюрера и итальянских маньеристов последующей эпохи. Отказавшись от создания «идеальной фигуры«, тяготевшей над сознанием итальянцев, Дюрер разрабатывал  пропорции «характерных типов«головы и фигуры человека, включая детские и гротескные, избегая, однако, как он сам писал, «прямого уродства«. Художник составил 26 серий «характерных рисунков«с вариациями  пропорций. Сознавая связь методики пропорционирования с вопросами симметрии, масштабности, перспективы, движения и ритма, Дюрер прибегал к геометризации,так называемой «кубической системе«, наглядно иллюстрирующей эти связи. Именно такое, динамичное, пропорционирование привлекало художников Маньеризма и Барокко XVI—XVIII вв. Мастера Классицизма, напротив, оставались приверженцами античной теории  симметрии рациональных пропорций. На фреске Рафаэля «Афинская школа» наскрижали рядом с фигурой Пифагора изображена «пифагорова диаграмма«— символ античной теории гармонии. Своеобразно, но аналогично западноевропейской, складывалась система пропорционирования в древнерусском искусстве. Как древние египтяне, а затем эллины, русские зодчие использовали мерный шнур, который называли «золотым поясом«. Его длина составляла четыре греческих фута (123—124 см). Существовали и деревянные «мери́ла» с делениями. Их применение обеспечивало взаимосвязь рядов гармонически связанных величин. При первом знакомстве с древнерусскими мерами длины удивляет наличие не одной, а нескольких, именно шести, са́женей (от сягать — протягивать руку), к тому же выраженных дробными числами. Предполагают, что эта система мер заимствована южными славянами через Византию из Древней Греции. Ее построение осуществлялось в так называемых»вавилонах» — геометрическом подобии форм, связанных антропоморфными отношениями. Если вписать в подобный «вавилон«древнерусские меры длины, то мы получим фигуру, несколько отличную, но в принципе сходную с египетской системой диагоналей. А при наложении этой системы на окружность с вписанной в нее фигурой человека увидим совпадение с ренессансной системой пропорций по канону Леонардо да Винчи. Даже с первого взгляда очевидна общность древнерусских мер длины и западноевропейской системы пропорционирования. Слово «сажень» означает то же, что по-гречески «орги́йя» (расстояние между простертыми руками; от греч. orego — «простирать»). Мерная сажень соответствует греческой оргийе, или 6 футам, что составляет сторону квадрата в системе пропорционирования человеческой фигуры, предложенной Витрувием. Этот же размер равняется 24 палестам (древнегреческая мера длины в четыре пальца). Диаметр вписанной окружности (по схеме Витрувия) представляет собой «косую» оргийю, или 30 палестов. Разница двух оргий равняется 6 палестам (по византийской системе мер), или одному «локтю». Отношение длины распростертых рук к диаметру окружности в рисунке Леонардо да Винчи при любом росте человека дает «золотое число». Расстояние между распростертыми руками служило главной единицей мер в течение всего Средневековья как на Западе, так и на Востоке Европы.Великая косая сажень относится к мерной как диагональ к стороне квадрата (√ 2:1). «Сажень без чети» (четверти) является диагональю половины этого же квадрата и т. д. Второй взаимосвязанный ряд величин образуется делением каждой сажени пополам: полусажень, локоть (1:4 сажени), пядь (1:8 сажени). Отношение мерной сажени (176,4) к сажени без чети (197,21) равно 0,9:1; прямой сажени (152,76) к мерной (176,4) равно 5:6; косой сажени (216) к великой косой (249,46) равно 7:8. Таким образом, независимо от размеров здания, применением этой шкалы величин в древнерусской архитектуре возникали отношения, совпадающие с теми, которые использовал А. Палладио в Италии, и числами ряда Фибоначчи (1:1:2:3:5:8). Вторым эталоном был мерный шнур «сока́рь» (греч.sokarion — «сильный«) длиной в 10 оргий (иногда в 12). В древнерусской архитектуре за модуль принимали длину бревна «венца» либо кирпич. Квадратная клеть — основной элемент деревянной постройки — требовала проверки правильности прямых углов. Эту операцию осуществляли с помощью мерного шнура размером в диагональ квадрата (обе диагонали должны быть равны). Таким образом возникало сразу два модуля — ме́рная сажень (сторона квадрата) и великая косая сажень (диагональ квадрата). Далее на диагонали строили новый квадрат. Так без вычислений получали удвоенную площадь. Все остальные производные связаны отношениями квадратов различных величин и их диагоналей. Эту систему и называли на Руси «вавилонами«. Древнерусскую систему диагоналей переносили в вертикальную плоскость, размечая таким образом пропорции стен, оконных и дверных проемов, которые также оказывались антропоморфными. Принципы пропорционирования перенесли в каменное зодчество, поэтому стены русских крепостей и башен также часто соответствуют отношениям квадрата и его диагонали. Таким образом, очевидно, что строители разных стран и эпох прибегали к аналогичным системам пропорционирования, связанным антропоморфными отношениями. Отсюда, в частности, символическое значение изображений вавилонов в качестве знаков «строительной мудрости» наподобие западноевропейских. Как на Западе, так и на Востоке пропорции мужской фигуры следовали квадрату «золотого числа» (2,618034 — полный рост, отношения нижней к верхней части, т. е. длины ног и таза к торсу и голове: 1,618:1). В начале XX в. русский архитектор И. В. Жолтовский (1867—1959), поклонник творчества А. Палладио, предложил использовать «удвоенную третью величину», прибавив ее к классическому ряду: 1; 0,618; 0,382; 0,236; 0,472 (0,236×2 = 0,472). Производным метода численного пропорционирования является прием гармонизации величин, основанный на «правиле прямого угла«. В геометрии существует аксиома о том, что диагонали подобных прямоугольников (разновеликих, но с равными отношениями сторон) будут (в зависимости от пространственного положения прямоугольников) либо параллельными, либо перпендикулярными. Использование этой аксиомы позволяет без вычислений добиваться сложнейшего «всепроникающего подобия» целого и множества разновеликих деталей. Архитекторы до сих пор пользуются «правилом прямого угла» и «обратным методом«. Вначале строят с помощью рейсшины ряд параллельных и перпендикулярных диагоналей, а затем на них — прямоугольники необходимого размера: фасады, проемы, членения стен. Отношения сторон этих прямоугольников будут равны, что обеспечивает подобие целого и деталей. Эта музыка отношений величин складывается в гармоничное звучание, получившее наименование «гармонического резонанса» (от лат. resonare — «звучать в ответ, откликаться«). Когда мы созерцаем произведение классического искусства, входим в здание классической архитектуры (не обязательно в храм), невольно замирает дыхание, учащается пульс. В этом состоянии умеряется резкость движений и суета. Наш организм от природы настроен на «золотые» ритмические отношения, и когда он попадает в пространство, организованное на тех же основаниях — пропорциях, симметрии и ритме гармонических интервалов, тогда (вначале на физиологическом, а затем на уровнях эстетического и художественного сознания) возникает явление «гармонического резонанса«, обладающее громадной силой воздействия. В этом случае даже простая строительная конструкция или пространство заурядного пейзажа, независимо от идеологического содержания, преображается в художественно-образную целостность, имеющую власть над человеком. Возникает ощущение величия, значительности, рождается чувство возвышенного (независимо от размеров воспринимаемого объекта). Такова сила антропометрических пропорций. С переходом в 1795 г. от античной системы гармонично связанных мер на искусственную метрическую систему эффект гармонического резонанса стал невозможен. Современная архитектура чужда человеку прежде всегопропорционально. И человек всегда будет к ней равнодушен. Более того: продолжительное пребывание в урбанистической среде неклассической архитектурынебезопасно с психологической точки зрения. Одним из первых эту опасность осознал французский архитектор Ле Корбюзье. Убедившись на собственном опыте в изъянах индустриального метода изготовленияархитектурных деталей на основе единой метрической системы мер, Ле Корбюзье в 1945—1948 гг. создал инструмент пропорционирования, «настроенный» на шкалу «золотых отрезков«. Причем на эту идею его натолкнуло правило прямого угла. Вначале французский архитектор попытался совместить правило прямого угла, которое он исследовал в классической архитектуре и живописи, с античной системой парных мер. Затем Ле Корбюзье разработал две шкалы гармонично возрастающих величин в пропорции золотого сечения. Основой «красного ряда» величин послужила величина 108 см (условное расстояние от уровня земли до пуповины человека), а второго, «синего ряда» — удвоенная величина: рост человека с поднятой рукой — 216 см. Существенно, что условность исходных величин не влияет на гармонию пропорций(согласно «Канону» Поликлета, идеальная высота фигуры равна 261,8 см — квадрат золотого числа, в древнерусском вавилоне — 176,4 см). Однако изобретение Ле Корбюзье не оправдало возложенных на него надежд. В индустриальном мире удобнее пользоваться метрической системой кратных отношений, чем «золотой шкалой» с множеством мер. Ле Корбюзье разрабатывал свой модулор, изучая классическую архитектуру. Однако и архитекторов Классицизма подстерегала неудача, когда они подменяли иррациональное пропорционирование простыми метрическими отношениями величин. Так, К. Росси, создавая Театральную улицу вПетербурге, взял за основу композицию улицы Уффици во Флоренции (Дж. Вазари, 1559—1565), но применил не иррациональные, а простые кратные отношения величин: длина улицы 220 м, ширина и высота 22 м. В результате возникает ощущение стесненности и монотонности.

Гримм Г. Д. Пропорциональность в архитектуре. — Ленинград ; Москва, 1935

  

 

 

Пропорциональность в архитектуре / проф. Г. Д. Гримм. — Ленинград ; Москва : ОНТИ, Главная редакция строительной литературы, 1935. — 148 с., ил.

 

 

Об авторе

Герман Давидович Гримм (1865—1942) — русский архитектор. Академик архитектуры (1895). Преподаватель (с 1900), профессор (с 1901) ИГИ—ЛИСИ. Архитектор, инспектор строительной части Ведомства учреждений императрицы Марии (с 1907). Член Петербургского общества архитекторов с 1894. Старшина, заведующий музеем, член совета общества (с 1900-х). Работал для общества религиозно-нравственного просвещения в духе православной церкви. Автор построек в Москве, под Рыбинском и в Сочи, дачи в Петергофе и отделения для туберкулезных больных санатория в Халила. В советское время — инженер и архитектор ряда организаций по сооружению железных дорог. Строил дома отдыха, промышленные здания; автор проекта жилого поселка электростанции «Красный Октябрь» в Ленинграде. Профессор Академии Художеств, доктор архитектуры, историк и теоретик зодчества, автор исследований по пропорциям. Действительный член Академии архитектуры СССР.

 

 

ОТ РЕДАКЦИИ

Предлагаемая вниманию читателя книга проф. Г. Д. Гримм является результатом 40-летнего изучения автором вопросов архитектуры и, в частности, проблемы пропорциональности в архитектуре.

 

В вопросе о пропорциональности Г. Д. Гримм придерживался вначале точки зрения „музыкальной гармонии“ или классической схемы пропорциональности. Позднее, под влиянием взглядов эстетиков XIX века, в особенности Цейзинга, Г. Д. Гримм становится на точку зрения так называемого общего закона пропорциональности, математически формулируемого как принцип „золотого сечения“. На этой точке зрения Г. Д. Гримм стоит и сейчас в предлагаемой книге.

 

Богатая эрудиция и огромный материал, полученный автором в результате работы над сотнями архитектурных памятников различных стилей, делают книгу Г. Д. Гримма интересной для советского архитектора. Принципу „золотого сечения“ в архитектуре в книге дается солидное позитивное обоснование путем приведения математической трактовки зависимости элементов архитектурного сооружения.

 

Однако, необходимо отметить, что проблема пропорциональности и принцип „золотого сечения“ в архитектуре в книге трактуются несколько отвлеченно. Момент пропорциональности освещается оторванно от общей композиции и стиля архитектурного сооружения. Недостаточно отчетливо вскрываются характер и специфика пропорциональности различных архитектурных стилей в их историческом аспекте, что сделало бы понятными отклонения или несовпадения принципа „золотого сечения» с фактами и, вероятно, привело бы к формулированию исторической точки зрения на пропорциональность, выявляющей своеобразие принципов пропорциональности конкретных исторических стилей. Несмотря на это, самая попытка общей формулировки принципа „золотого сечения“ как основы пропорциональности архитектурных стилей, проверенная на материале античной и европейской архитектуры, заслуживает внимания, чтобы быть опубликованной, тем более, что в книге дается исторический очерк развития теории пропорциональности, а также развернутое математическое положение принципа „золотого сечения“.

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Основой каждого вновь созидаемого сооружения, каждого архитектурного памятника является: с одной стороны — его наибольшая целесообразность, ясность и простота при оправданности архитектурных его форм, принятых в соответствии с материалом и его назначением, с конструкциями и прежде всего с его внутренним содержанием; с другой — определяющий ценность здания в художественном отношении, правильный учет художественно-композиционного момента и четкое решение проблем идеологического восприятия форм современности.

 

При этом, учитывая, что общекультурные, художественные и конструктивно-технические проблемы должны стоять в тесной связи с общественным развитием, в каждом новом сооружении требуется новый подход к разрешению указанных проблем, считаясь как с современным технико-экономическим уровнем, так и прежде всего с идейно-художественными требованиями определенных общественных классов и типов общественного строя.

 

Выполнение этих требований достигается архитектурной композицией, которая заключается в создании проекта сооружения, составленного путем сочетания их в одно архитектурное целое. При этом одним из основных моментов художественного оформления сооружения является достижение гармонии здания, которая слагается из ряда отдельных факторов — симметрии и асимметрии, ритме и контрасте, масштабности, соразмерности и равновесия, регулирующим звеном которых является пропорциональность.

 

Пропорциональность в архитектуре, это — то соотношение, которое должно существовать между архитектурным целым и его частями, соотношение, обусловленное композицией сооружения, стилем его эпохи.

 

В беспредельной области творчества опорные точки необходимы: как музыка подчиняется законам колебания звука, так и архитектура должна подчиняться своим законам, и только соблюдение их в архитектурном произведении дает художественное целое.

 

Невыясненность этих законов затрудняет зодчего в отыскании правильного пути к достижению закономерных, приведенных в определенный порядок, необходимых для данного сооружения отношений, вследствие чего отклонения в сторону неминуемы.

 

Одним из настоятельных требований методологии архитектуры является раскрытие этих законов и введение их в обобщающую пропорциональную схему, оправданную на пропорциональности выдающихся исторических памятников прошлого и обусловливающую правильное соотношение частей сооружения между собой и с целым и, вместе с тем, допускающую свободную эволюцию архитектурной мысли, не замыкая ее в тесные рамки одного времени, одного стиля.

 

Искания художников и мыслителей с целью раскрытия законов пропорциональности в архитектуре идут с давних пор, с первых шагов сознательной работы художественной мысли. Однако выработанные в свое время как в изобразительных искусствах, так и в архитектуре схемы и теории пропорциональности не сохранились.

 

Единственное сочинение эпохи классики, дошедшее частично до нас, которое проливает некоторый свет в этом направлении, это — трактат об архитектуре Витрувия, римского зодчего времен императора Августа. В этом трактате дается некоторая формулировка пропорциональности, а главным образом перечисляется целый ряд нормирующих относительную величину отдельных частей сооружений римских ордеров; трактат этот представляет собой перечень данных, добытых опытом, без всякого их обобщения, оставаясь таким образом в границах стиля классики. И его нормы, фактически сложившиеся на основе учета конструктивных возможностей и требований своего времени, имеют значение только традиционное и, как таковые, в общую схему теории пропорциональности войти не могут. То же следует сказать о нормах зодчих — теоретиков времени итальянского Возрождения — Виньоле, Палладио и других, принявших традиционные нормы Витрувия как нечто постоянное.

 

На основе как разбора исторических памятников, так и разрозненных указаний о взглядах на пропорциональность прежних эпох архитектурной мысли, с половины XIX века идут определенные искания, направленные по пути внедрения обобщающей математической формулировки в отношения отдельных частей архитектурного целого. При этом одни исследователи идут по пути признания геометрических построений и подобия отдельных частей между собой основой пропорциональности в архитектуре, другие дают единую схему для архитектуры и музыкальной гармонии, а третьи улавливают даже общие задачи для всякой пропорциональности во всех проявлениях видимого мира.

 

Первые из исследователей — Тирш, Дегио, Виолле ле-Дюк — в своих исканиях дают решения частного порядка, в иных случаях оправдывающих их построения, в других не отвечающих им, являющиеся частичным следствием одного общего закона, ими не выявленного. Теория Генчельмана, наиболее разработанная из схем, придерживающихся общности теории музыки и архитектуры, основанная на действительной согласованности отношений архитектурных частей памятников классики, памятников Греции и Рима с отношениями интервалов октавы, логического объяснения для признания общности этой схемы не дает.

 

Общность закона пропорциональности во всех проявлениях гармонии, закона золотого сечения выставляет Цейзинг, пытаясь доказать его значение для всего органического и неорганического мира.

 

Особое внимание Цейзинг уделяет развитию его теории в отношении пропорций человеческого тела, попутно освещая значение золотого сечения в других проявлениях последнего — в музыке, в растительном мире, в мире животных, в строении минералов, а также в архитектуре. Однако его несколько примитивный подход к пропорциональному разбору архитектурных памятников дает неубедительные результаты и является причиной непризнания его схемы.

 

Таким образом все выдвинутые до настоящего времени теории и схемы пропорциональности страдают существенными недочетами и не могут быть приняты для оценки правильности принятых отношений архитектурного целого. Правильно разрешенная схема пропорциональности прежде всего должна быть подчинена основной логике композиции сооружения, итти рука об руку с ней, приспособляясь к намеченному композицией пути, к ее формам и массам, внося лишь свои математические поправки, основанные на правильно примененной, общего характера, схеме пропорциональности.

 

Ввиду исключительного значения золотого сечения в смысле такого пропорционального деления, которое устанавливает постоянную связь между целым и его частями, и дает постоянное между ними соотношение, недостигаемое никаким другим делением, схема, основанная на нем, выдвигается как нормативная на первое место и принята нами в дальнейшем как при проверке основ пропорциональности исторических памятников, так и современных сооружений.

 

Проведенный на значительном ряде лучших архитектурных памятников прошлого пропорциональный разбор их полностью подтверждает значение золотого сечения, а также интуитивную согласованность пропорций этих памятников с соотношениями, получаемыми по схеме золотого сечения.

 

Считаясь с этим общим значением золотого сечения во всех проявлениях архитектурной мысли, теорию пропорциональности, основанную на делении целого на пропорциональные части, отвечающие членам геометрической прогрессии золотого сечения, следует признать основой архитектурной пропорциональности вообще.

 

При этом путем построений, отвечающих схеме деления по золотому сечению, получается ряд фигур и пропорциональных площадей, частично между собой подобных, т. е. как следствие достигается то подобие фигур, на которое Тирш, Дегио и Виолле ле-Дюк указывают как на основу пропорциональности.

 

Выясняющаяся вслед затем близкая, тесная связь золотого сечения с теорией музыки, с отношениями, отвечающими интервалам октавы, с отношениями, лежащими в основе канона Витрувия и его последователей — теоретиков итальянского Возрождения, дает полное основание пропорциональную схему геометрической прогрессии золотого сечения признать синтезом всех до настоящего времени известных и когда-либо практиковавшихся схем.

 

Наконец, применение гибкой, легко приспособляемой ко всякой правильно решенной на основе выполнения всех требований задания композиции, схемы проверки пропорциональности должно положить конец методологической беспомощности современных зодчих в установлении правильного решения в этом направлении, что особенно ценно в настоящее время, в эпоху намечающихся новых путей архитектурной мысли, основанных на использовании новых материалов, новых конструктивных возможностей, на новых задачах и проблемах идеологического восприятия форм, на новом социальном строе общества.

 

При этом архитектор-художник не должен останавливаться лишь на решениях частного порядка, на нахождении правильных соотношений одного определенного сооружения. Его задачи шире и должны итти по пути исканий общих норм, отвечающих нашей технике, нашей идеологии, нашей современности.

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редакции. 5

Введение … 7

 

Глава I. Исторический обзор развития идеи пропорциональности

§ 1. Взгляды египтян и философов древней Греции на пропорциональность. 9

§ 2. Витрувий о гармонии и пропорциональности в архитектуре… 11

§ 3. Схема пропорциональности готики. 13

§ 4. Возрождение классики и ее архитектурные нормы 14

§ 5. Каноны пропорциональности человеческого тела, установленные скульпторами и живописцами … 16

§ 6. Искания на пути обоснования общих законов пропорциональности формы. —

 

Глава II. Пропорциональная схема золотого сечения

§ 7. Общее определение пропорционального деления . 26

§ 8. Закон золотого сечения … 27

§ 9. Золотое сечение — производное „высших порядков“ 28

§ 10. Итоги исключительных свойств золотого сечения 33

§ 11. Пропорциональный масштаб золотого сечения . . 34

§ 12. Пропорциональное деление прямой по горизонтали и вертикали. 35

§ 13. Примеры линейной пропорциональности . 39

§ 14. Пропорциональное согласование площадей прямоугольников . —

§ 15. Пропорциональное согласование площадей подобных прямоугольников. 44

§ 16. Построение пропорционального масштаба геометрической прогрессии с знаменателем .. 46

§ 17. Пропорциональность треугольников.. 49

§ 18. Пропорциональное согласование кругов. 55

§ 19. Построение спирали золотого сечения.. 56

§ 20. Пропорциональность объемов.. 59

 

Глава ІІІ. Схема пропорциональности классики

§ 21. Основы пропорциональности классики. 67

§ 22. Основные законы теории гармонии в музыке и интервалы октавы, известные грекам… 69

§ 23. Таблица пропорционального деления прямой по отношениям, отвечающим интервалам октавы, и по золотому сечению… 71

§ 24. Пропорции капители колонны Парфенона . —

§ 25. Пропорции базы колонны портика Пантеона . . 72

 

Глава IV. Анализ пропорций архитектурных памятников классики и других стилей и их согласованность с золотым сечением

§ 26. Золотое сечение в памятниках Египта и Эллады . 78

§ 27. Анализ пропорций Парфенона.. 79

§ 28. Нормы греко-дорических портиков по золотому сечению. 83

§ 29. Нормы греко-ионических портиков по золотому сечению. 84

§ 30. Золотое сечение в нормах коринфского стиля . . 85

§ 31. Золотое сечение в памятниках Византии.. 89

§ 32. Золотое сечение в пропорциях памятников итальянского Возрождения.. 90

§ 33. Нормы ордеров Витрувия и Виньолы и их согласование с золотым сечением. 102

§ 34. Золотое сечение в памятниках барокко . 103

§ 35. Золотое сечение в памятниках готики.. 104

§ 36. Золотое сечение в памятниках древнерусского зодчества. 100

 

Глава V. Золотое сечение в пропорциях современного зодчества

§ 37. Анализ пропорций современных зданий в СССР . 113

§ 38. Анализ пропорций современных зданий на Западе. 113

§ 39. Анализ принятого в основу проекта Дворца Советов СССР архит. Б. М. Иофана.. 123

§ 40. Анализ переработанного первого проекта Дворца Советов СССР архит. В. Гельфрейх, Б. Иофана и В. Щуко… 129

§ 41. Заключение… 134

 

Приложение: Выборка из трактата Витрувия по вопросам пропорциональности и по нормам классических ордеров

1. Указания Витрувия на знания, необходимые зодчему, и на основы композиции… 136

2. Взгляды Витрувия на основы пропорциональности —

3. Пропорции общих масс храмов… 137

4. Нормы ионического ордера. 138

5. Нормы коринфского ордера. 142

6. Нормы дорического ордера… —

7. Пропорции дверных наличников.. 145

8. Нормы круглых храмов.. —

9. Нормы театра… 146

10. Пропорции форума, базилики и жилого дома … —

 

Литература. 147

 

 

Примеры страниц

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Библиотека портала Tehne.com работает при поддержке АО «Прикампромпроект». АО «Прикампромпроект» выполняет комплекс проектных услуг — от обоснования инвестиций и инженерных изысканий до разработки проектно-сметной документации объектов гражданского и промышленного назначения.

 

Соотношения и пропорции — Пропорции

Пропорция просто утверждение, что два соотношения равны. Это можно записать двумя способами: как две равные дроби a / b = c / d; или используя двоеточие, a: b = c: d. Следующие пропорция читается как «двадцать равно двадцати пяти, как четыре — пяти».

В проблемах включая пропорции, мы можем использовать перекрестные произведения, чтобы проверить, равны и образуют пропорцию.Чтобы найти перекрестные произведения пропорции, мы умножаем внешние члены, называемые крайними, и средние, называемые значение.

Здесь 20 и 5 — крайности, а 25 и 4 — средние. Поскольку кросс-продукты оба равны сотне, мы знаем, что эти отношения равны и что это это верная пропорция.

Мы также можем используйте перекрестные произведения, чтобы найти пропущенный член в пропорции.Вот пример. В фильме ужасов с участием гигантского жука он выглядел на 50 футов выше. долго. Однако для жука использовалась модель, которая на самом деле была всего 20 дюймов. долго. В фильме также использовалась модель здания высотой 30 дюймов. Какого роста здание кажется в фильме?

Сначала напишите пропорция, в которой пропущенный член заменяется буквой. Мы находим произведите перекрестное произведение, умножив 20 на x и 50 на 30.Затем разделите на найти х. Внимательно изучите этот шаг, потому что это метод, который мы будем часто использовать. по алгебре. Мы пытаемся найти неизвестное нам число x в левой части уравнение само по себе. Поскольку x умножается на 20, мы можем использовать «обратный» умножения, то есть деления, чтобы избавиться от 20. Мы можем разделить и то, и другое. стороны уравнения на одно и то же число, не меняя смысла уравнение. Когда мы разделим обе стороны на 20, мы обнаружим, что здание будет кажутся 75 футов высотой.

Обратите внимание, что мы используя обратное умножение на 20, то есть деление на 20, чтобы получить только x с одной стороны.

назад наверх

Соотношения и пропорции и способы их решения (Алгебра 1, Как решать линейные уравнения) — Mathplanet

Давайте поговорим о пропорциях и пропорциях. Когда мы говорим о скорости автомобиля или самолета, мы измеряем ее в милях в час. Это называется ставкой и является разновидностью соотношения.Отношение — это способ сравнения двух величин с использованием деления в милях в час, где мы сравниваем мили и часы.

Отношение можно записать тремя разными способами, и все они читаются как «отношение x к y»

$$ x \: to \: y $$

$$ x: y $$

$$ \ frac {x} {y} $$

С другой стороны, пропорция — это уравнение, которое говорит, что два отношения эквивалентны. Например, если один пакет смеси файлов cookie приводит к получению 20 файлов cookie, это было бы то же самое, что сказать, что два пакета приведут к созданию 40 файлов cookie.

$$ \ frac {20} {1} = \ frac {40} {2} $$

Пропорция читается как «x относится к y, как z относится к w»

$$ \ frac {x} {y} = \ frac {z} {w} \: где \: y, w \ neq 0 $$

Если одно число в пропорции неизвестно, вы можете найти это число, решив пропорцию.

---

Пример

Вы знаете, что для приготовления 20 блинов нужно использовать 2 яйца. Сколько яиц нужно для приготовления 100 блинов?

	Яйца	блины
Небольшое количество	2	20
Большое количество	х	100

$$ \ frac {яйца} {блины} = \ frac {яйца} {блины} \: \: или \: \: \ frac {блины} {яйца} = \ frac {блины} {яйца} $ $

Если мы напишем неизвестное число в номинаторе, то мы сможем решить это, как любое другое уравнение

$$ \ frac {x} {100} = \ frac {2} {20} $$

Умножаем обе стороны на 100

$$ {\ color {зеленый} {100 \, \ cdot}} \, \ frac {x} {100} = {\ color {зеленый} {100 \, \ cdot}} \, \ frac {2} { 20} $$

$$ x = \ frac {200} {20} $$

$$ x = 10 $$

Если в знаменателе стоит неизвестное число, мы можем использовать другой метод, включающий перекрестное произведение.Перекрестное произведение — это произведение числителя одного из соотношений и знаменателя второго отношения. Произведения пропорции всегда равны

.

Если мы снова воспользуемся примером с смесью печенья, использованной выше

$$ \ frac {{\ color {green} {20}}} {{\ color {blue} {1}}} = \ frac {{\ color {blue} {40}}} {{\ color {зеленый } {2}}} $$

$$ {\ color {blue} {1}} \ cdot {\ color {blue} {40}} = {\ color {green} {2}} \ cdot {\ color {green} {20}} = 40

$

Говорят, что в пропорции

$$ \ frac {x} {y} = \ frac {z} {w} \: где \: y, w \ neq 0 $$

$$ xw = yz $$

Если вы посмотрите на карту, она всегда говорит вам в одном из углов, что 1 дюйм карты соответствует гораздо большему расстоянию в реальности.Это называется масштабированием. Мы часто используем масштабирование для изображения различных объектов. Масштабирование подразумевает воссоздание модели объекта и разделение его пропорций, но с разным размером. Можно увеличить (увеличить) или уменьшить (уменьшить). Например, масштаб 1: 4 представляет четвертую часть. Таким образом, любое измерение, которое мы видим в модели, будет 1/4 от реального измерения. Если мы хотим вычислить обратное, где у нас есть стена высотой 20 футов и мы хотим воспроизвести ее в масштабе 1: 4, мы просто вычисляем:

$$ 20 \ cdot 1: 4 = 20 \ cdot \ frac {1} {4} = 5 $$

В масштабной модели 1: X, где X — постоянная величина, все измерения становятся 1 / X — от реального измерения.Та же математика применима, когда мы хотим увеличить. При изображении чего-либо в масштабе 2: 1 все измерения становятся в два раза больше, чем на самом деле. Мы делим на 2, когда хотим найти фактическое измерение.

---

Видеоурок

Найти x

$$ \ frac {x} {x + 20} = \ frac {24} {54} $$

Пропорции

Пропорция означает, что два соотношения (или дроби) равны.

Пример:

Таким образом, 1 из 3 равно 2 из 6

Коэффициенты одинаковы, поэтому они пропорциональны.

Пример: веревка

Длина веревки и вес пропорциональны.

Если 20 м каната весит 1 кг , тогда:

• 40 м троса весит 2 кг
• 200 м из них весит 10 кг
• и т. Д.

Итак:

20 1 знак равно 40 2

Размеры

Когда формы «пропорциональны», их относительные размеры одинаковы.

Здесь мы видим, что отношения длины головы к длине тела одинаковы на обоих рисунках. Значит они пропорциональны . Слишком длинная или короткая голова будет выглядеть плохо!

Пример. Международные форматы бумаги (например, A3, A4, A5 и т. Д.) Имеют одинаковые пропорции:

Таким образом, любой рисунок или документ можно изменить, чтобы он поместился на любом листе.Очень аккуратный.

Работа с пропорциями

ТЕПЕРЬ, как нам это использовать?

Пример: вы хотите нарисовать голову собаки … какой длины она должна быть?

Запишем пропорцию с помощью соотношения 10/20 сверху:

? 42 знак равно 10 20

Сейчас решаем специальным методом:

Умножьте на известные углы,
затем разделите на третье число

И получаем это:

? = (42 × 10) / 20
= 420/20
= 21

Итак, вам следует нарисовать голову 21 длиной .

Использование пропорций для вычисления процентов

Процент — это на самом деле соотношение! Сказать «25%» на самом деле означает «25 на 100»:

25% = 25 100

Мы можем использовать пропорции для решения вопросов, связанных с процентами.

Уловка состоит в том, чтобы поместить то, что мы знаем, в эту форму:

Часть Целая = Процент 100

Пример: что составляет 25% от 160?

Процент 25, целое 160, и мы хотим найти «часть»:

Деталь 160 = 25 100

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число:

Часть = (160 × 25) / 100
= 4000/100
= 40

Ответ: 25% от 160 это 40.

Примечание: мы также могли бы решить эту проблему, выполнив сначала разделение, например:

Часть = 160 × (25/100)
= 160 × 0,25
= 40

Любой метод работает нормально.

Мы также можем найти процент:

Пример: сколько будет 12 долларов в процентах от 80 долларов?

Укажите, что нам известно:

$ 12 $ 80 = % 100

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число.На этот раз известные углы — верхний левый и нижний правый:

.

Процент = (12 долларов на 100) / 80 долларов
= 1200/80
= 15%

Ответ: 12 долларов — это 15% из 80 долларов

Или найдите все:

Пример: продажная цена телефона составляла 150 долларов, что составляло только 80% от нормальной цены. Какая была нормальная цена?

Укажите, что нам известно:

$ 150 Всего = 80 100

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число:

Всего = (150 $ × 100) / 80
= 15000/80
= 187.50

Ответ: у телефона нормальная цена была 187,50 $

Использование пропорций для решения треугольников

Мы можем использовать пропорции для решения подобных треугольников.

Пример: Какой высоты у дерева?

Сэм попытался использовать лестницу, рулетку, веревки и другие вещи, но так и не смог определить, насколько высоким было дерево.

Но тут Сэму пришла в голову умная идея … похожие треугольники!

Сэм измеряет палку и ее тень (в метрах), а также тень от дерева, и вот что он получает:

Теперь Сэм делает набросок треугольников и записывает соотношение «высота к длине» для обоих треугольников:

Высота: Длина тени: h 2.9 мес. = 2,4 м 1,3 м

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число:

h = (2,9 × 2,4) / 1,3
= 6,96 / 1,3
= 5,4 м (с точностью до 0,1)

Ответ: дерево 5,4 м высотой.

И ему даже лестница не понадобилась!

«Высота» могла быть внизу, если она была внизу для ОБОИХ соотношений, например:

Попробуем соотношение «Длина тени к высоте»:

Длина тени: Высота: 2.9 м ч = 1,3 м 2,4 м

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число:

h = (2,9 × 2,4) / 1,3
= 6,96 / 1,3
= 5,4 м (с точностью до 0,1)

Это тот же расчет, что и раньше.

A Пример «Бетон»

Коэффициенты могут иметь более двух чисел !

Например, бетон получают путем смешивания цемента, песка, камней и воды.

Типичная смесь цемента, песка и камней записывается как соотношение, например 1: 2: 6.

Мы можем умножить все значения на одну и ту же сумму и получить то же соотношение.

10:20:60 совпадает с 1: 2: 6

Итак, когда мы используем 10 ведер цемента, мы должны использовать 20 ведер песка и 60 камней.

Пример: вы только что засыпали 12 ведер камней в миксер. Сколько цемента и сколько песка нужно добавить, чтобы получилась смесь 1: 2: 6?

Разложим в таблице для наглядности:

	Цемент	Песок	Камни
Необходимое соотношение:	1	2	6
У вас есть:			12

У вас 12 ведер с камнями, но в соотношении 6.

Это нормально, у вас просто вдвое больше камней, чем число в соотношении … так что вам нужно в два раза больше из всего , чтобы сохранить соотношение.

Вот решение:

	Цемент	Песок	Камни
Необходимое соотношение:	1	2	6
У вас есть:	2	4	12

И соотношение 2: 4: 12 такое же, как 1: 2: 6 (потому что они показывают те же относительные размеры )

Итак, ответ: добавьте 2 ведра цемента и 4 ведра песка. (Вам также понадобится вода и много помешивания ….)

Почему у них одинаковое соотношение? Ну, соотношение 1: 2: 6 говорит о :

• вдвое больше песка, чем цемента (1: 2: 6)
• В 6 раз больше камней, чем цемента (1: 2: 6)

В нашем миксе:

• вдвое больше песка, чем цемента (2: 4: 12)
• В 6 раз больше камней, чем цемента (2: 4: 12)

Так должно быть в самый раз!

Это хорошая вещь о соотношениях.Вы можете увеличивать или уменьшать количество, и если относительные размеры совпадают, тогда соотношение будет таким же.

Соотношения и пропорции | Как решить (видео и примеры) // Tutors.com

Соотношения и пропорциональные отношения

Соотношения и пропорции — подобные фигуры и понятия, которые так же легко спутать, как жабы и лягушки (все жабы — лягушки, но не все лягушки — жабы).Соотношения сравнивают значения, а пропорции сравнивают отношения.

1. Что такое соотношения?
2. Что такое пропорции?
3. Как вычислить пропорции и пропорции
4. Задачи со словами
5. Примеры
6. Практика

Что такое соотношения?

Коэффициенты сравнить значения. Вы можете сравнить количество темноволосых мальчиков с количеством белокурых мальчиков, или с количеством карандашей в классе, или с количеством шатенок, или … ну, вы поняли.Коэффициенты сравнивают ценность одних и тех же или разных вещей.

Допустим, у вас в классе 10 шатенок и 6 блондинок в одном классе. Вы можете установить шесть различных соотношений:

1016: Шатенки всем девочкам

610: от блондинок к шатенкам

616: Светловолосые девушки всем девушкам

106: от шатенок к блондинкам

1610: Все девочки шатенкам

166: от всех девочек к блондинкам

Три из этих отношений являются неправильными дробями; это нормально! Коэффициенты могут быть записаны как правильные или неправильные дроби.Их также можно записать через точку с запятой, например:

10:16

6:10

6:16

10: 6

16:10

16: 6

Что такое пропорции?

При сравнении двух соотношений используется пропорция . Вы спрашиваете, является ли первое соотношение таким же, меньшим или большим, чем второе соотношение. Сравните соотношение коричневых ко всем девушкам и блондинок ко всем девушкам:

1016 = 616

10:16 = 6:16

Вы можете видеть, что эти два отношения равны не , поэтому они не пропорциональны :

1016 ≠ 616

10:16 ≠ 6:16

Как вычислить пропорции и пропорции

Как будут выглядеть пропорциональные дроби? Добавим в класс восемь питомцев класса: 5 хомяков и 3 лягушки.Вы можете создать коэффициентов :

5: 3 (от хомяков к лягушкам)

3: 5 (от лягушек к хомякам)

5: 8 (хомяки всем домашним животным)

3: 8 (лягушки всем домашним животным)

8: 5 (от домашних животных до хомяков)

8: 3 (от всех домашних животных до лягушек)

Пропорции может сказать нам, равны ли два соотношения или нет. Сравните соотношение хомяков ко всем домашним животным и соотношение шатенок ко всем девочкам:

58 = 1016

5: 8 = 10:16

Вы можете проверить эти дроби несколькими способами, например, упростив 1016 до 58 или путем перекрестного умножения и деления: 5 × 1610 = 8.

Эти два отношения являются пропорциональными друг другу. Соотношение хомяков ко всем питомцам класса такое же, как соотношение шатенок ко всем девочкам в классе:

58 = 1016

5: 8 = 10:16

Задачи о соотношениях и пропорциях слов

Кулинария, сравнение цен, вождение, машиностроение, строительство и финансы — это лишь некоторые области, в которых соотношения и пропорции работают каждый день.

Вот рецепт корма для хомяка, чтобы накормить одного хомяка:

20 грамм смеси пяти злаков

10 г смеси мелких семян

10 г овсяных хлопьев

10 г сушеных овощей

5 г орехов

5 г сухофруктов

Один хомяк получает 60 граммов корма для хомяков.Сколько нужно смешать для пяти хомяков?

160 = 5?

1:60 = 5:?

Что бы вы ни умножили 1 раз, чтобы получить 5, умножьте то же число 60 раз. Вам нужно 300 грамм.

160 = 5300

1:60 = 5: 300

Сколько каждого ингредиента нужно смешать? На каждые 60 граммов корма для хомяка на одного хомяка, 20 граммов составляют смесь из пяти злаков в соотношении 20:60 или 1: 3. Если вы хотите накормить пять хомяков, вам нужно смешать больше всего в правильных пропорциях.Сколько граммов смеси из пяти злаков вам понадобится?

2060 =? 300

13 =? 300

20:60 =? : 300

1: 3 =? : 300

Допустим, вы выполнили свои расчеты и смешали смесь из пяти злаков в соотношении 50: 300. Это верно? Проверить: 50300 пропорционально 2060 или 13?

Вы можете перемножить и разделить, чтобы проверить: 50 × 3300. Вы видите, что 150300 = 12, а не 1. Итак, ваша смесь , а не в правильной пропорции, потому что 50 — это не одна треть от 300.Вам понадобилось 100 г смеси из пяти злаков, чтобы сохранить правильные пропорции.

Примеры соотношений и пропорций

Возможно, вы подрабатываете в продуктовом магазине, собираете подарочные корзины с фруктами. Ваш менеджер советует вам поддерживать соотношение груш к яблокам 2: 3 для корзины любого размера. В маленькой корзине 2 груши и 3 яблока. Очень большая корзина должна иметь такое же соотношение 2: 3, но быть в пять раз больше.

Соотношение груш: яблоки равно 2: 3, поэтому умножьте обе части отношения на 5, чтобы получить новое соотношение: 10:15 — в вашей очень большой подарочной корзине нужно 10 груш и 15 яблок.

Пропорции равны; 2: 3 = 10:15.

Практика соотношений и пропорций

В классе 10 шатенок и 6 блондинок тоже есть мальчики. Из 12 мальчиков в классе 4 имеют светлые волосы и 8 — каштановые. Запишите три отношения, используя эту новую информацию.

Из информации можно записать множество соотношений. Посмотрим, сможете ли вы выяснить, что описывают эти соотношения:

4:12

8:12

4:28

8:10

28: 8

Вы получили эти ответы?

4:12 (Светловолосые мальчики всем мальчикам)

8:12 (Шатенки всем мальчикам)

4:28 (Светловолосые мальчики всем ученикам)

8:10 (от шатеных мальчиков к шатенкам)

28: 8 (от всех учеников к шатенкам)

---

Краткое содержание урока

Вы узнали, что отношения сравнивают значения, а пропорции сравнивают отношения.Пропорции чаще всего используются для обеспечения равных соотношений при их увеличении или уменьшении. Вы можете записывать коэффициенты в виде дроби или с двоеточием между ними, например: 1016 или 10:16. Соотношения могут сравнивать похожие и непохожие вещи. И соотношения, и пропорции полезны во многих аспектах повседневной жизни.

Следующий урок:

Среднее геометрическое

Что такое пропорции | Типы | Примеры

Пропорция объясняется в основном на основе соотношения и дроби. Дробь, представленная в виде a / b, в то время как соотношение a: b, тогда пропорция указывает, что два отношения равны.Здесь a и b — любые два целых числа. Соотношение и пропорция являются ключевыми основами для понимания различных концепций как в математике, так и в естествознании.

Пропорция находит применение в решении многих повседневных жизненных проблем, например, в бизнесе, при совершении транзакций или во время приготовления пищи и т. Д. Она устанавливает связь между двумя или более количествами и, таким образом, помогает в их сравнении.

Что такое пропорция?

Доля, как правило, определяется как часть, доля или количество, рассматриваемые в сравнительном отношении к целому.Определение пропорции гласит, что когда два отношения эквивалентны, они пропорциональны. Это уравнение или утверждение, используемое для обозначения равенства двух соотношений или дробей.

Пропорция — Определение

Пропорция — это математическое сравнение двух чисел. Согласно пропорции, если два набора заданных чисел увеличиваются или уменьшаются в одном и том же соотношении, то говорят, что эти отношения прямо пропорциональны друг другу. Пропорции обозначаются символом «::» или «=».

Пропорция — Пример

Два отношения считаются пропорциональными, когда два отношения равны. Например, для номера время, затрачиваемое поездом на преодоление 50 км в час, равно времени, затраченному им на преодоление расстояния 250 км за 5 часов. Например, 50 км / час = 250 км / 5 часов.

Продолжение пропорций

Говорят, что любые три величины находятся в непрерывной пропорции, если соотношение между первой и второй равно соотношению между второй и третьей.Точно так же четыре количества в непрерывной пропорции будут иметь соотношение между первым и вторым, равное отношению между третьим и четвертым.

Например, рассмотрим два отношения: a: b и c: d. Чтобы найти непрерывную пропорцию для двух заданных членов отношения, мы преобразуем их средние в один член / число. В общем случае это будет НОК средних, и для данного отношения НОК b и c будет bc. Таким образом, умножив первое отношение на c, а второе отношение на b, получим

• Первое отношение- ca: bc
• Второе передаточное число- bc: bd

Таким образом, непрерывную пропорцию для данных соотношений можно записать в виде ca: bc: bd.

Соотношения и пропорции

Коэффициент — это способ сравнения двух одинаковых величин с помощью деления. Формула отношения для двух чисел a и b задается как a: b или a / b. Умножение и деление каждого члена отношения на одно и то же число (отличное от нуля) не влияет на соотношение.

Когда два или более таких отношения равны, говорят, что они находятся в соотношении .

Четвертый, третий и средний пропорциональный

Если a: b = c: d, то:

• d называется четвертым, пропорциональным a, b, c.
• c называется третьим, пропорциональным a и b.
• Среднее значение, пропорциональное между a и b, равно √ (ab).

Советы и рекомендации по пропорции

• a / b = c / d ⇒ ad = bc
• a / b = c / d ⇒ b / a = d / c
• a / b = c / d ⇒ a / c = b / d
• a / b = c / d ⇒ (a + b) / b = (c + d) / d
• a / b = c / d ⇒ (a — b / b = (c — d) / d
• a / (b + c) = b / (c + a) = c / (a ​​+ b) и a + b + c ≠ 0, тогда a = b = c.
• a / b = c / d ⇒ (a + b) / (a ​​- b) = (c + d) / (c — d), которое известно как правило componendo -dividendo
• Если оба числа a и b умножаются или делятся на одно и то же число в соотношении a: b, то полученное соотношение остается таким же, как исходное.

Формула пропорции с примерами

Формула пропорции — это уравнение, которое можно решить для получения сравнительных значений. Для решения задач пропорций мы используем концепцию, согласно которой пропорция — это два равных друг другу соотношения.Мы имеем в виду это в смысле равенства двух дробей.

Формула соотношения

Предположим, что у нас есть любые две величины (или две сущности), и мы должны найти соотношение этих двух, тогда формула для отношения определяется как a: b ⇒ a / b , где,

• a и b могут быть любыми двумя величинами.
• «а» называется первым членом или антецедентом .
• «b» называется вторым членом или последующим .

Например, в соотношении 5: 9 представляется как 5/9, где 5 является антецедентом, а 9 — следствием. 5: 9 = 10:18 = 15:27

Формула пропорции

Теперь предположим, что, пропорционально, два отношения равны a: b и c: d. Два термина «b» и «c» называются «средствами или средними терминами», тогда как термины «a» и «d» известны как «крайние или крайние термины».

a / b = c / d или a: b :: c: d. Например, давайте рассмотрим другой пример количества учеников в двух классах, где соотношение количества девочек и мальчиков равно. Наше первое соотношение количества девочек и мальчиков составляет 2: 5, а другое — 4: 8, тогда соотношение может быть записано как: 2: 5 :: 4: 8 или 2/5 = 4/8. Здесь 2 и 8 — крайности, а 5 и 4 — средние.

В зависимости от типа взаимосвязи, которую разделяют два или более количества, пропорции можно разделить на разные типы.Есть два типа пропорций.

• Прямая пропорция
• Обратная пропорция

Прямая пропорция

Этот тип описывает прямую связь между двумя величинами. Проще говоря, если одно количество увеличивается, другое количество также увеличивается, и наоборот. Например, если скорость автомобиля увеличивается, он преодолевает большее расстояние за фиксированный промежуток времени. В обозначениях прямая пропорция записывается как y ∝ x.

Обратная пропорция

Этот тип описывает косвенную связь между двумя величинами. Проще говоря, если одно количество увеличивается, другое количество уменьшается, и наоборот. В обозначениях обратная пропорция записывается как y ∝ 1 / x. Например, увеличение скорости автомобиля позволит преодолеть фиксированное расстояние за меньшее время.

Важные примечания

• Пропорция — это математическое сравнение двух чисел.
• Основные пропорции бывают двух типов: прямые пропорции и обратные пропорции.
• Мы можем применять понятия пропорций к географии, сравнивая величины в физике, диетологии, кулинарии и т. Д.

Свойства пропорции

Пропорция устанавливает эквивалентное соотношение между двумя соотношениями. Свойства пропорции, которой следует это отношение:

• Дополнение — Если a: b = c: d, то значение каждого отношения равно a + c: b + d
• Subtrahendo — Если a: b = c: d, то значение каждого отношения равно a — c: b — d
• Дивидендо — Если a: b = c: d, то a — b: b = c — d: d
• Componendo — Если a: b = c: d, то a + b: b = c + d: d
• Alternendo — Если a: b = c: d, то a: c = b: d
• Invertendo — Если a: b = c: d, то b: a = d: c
• Componendo и Dividndo — Если a: b = c: d, то a + b: a — b = c + d: c — d

Разница между соотношением и пропорциями

Соотношение и пропорция — тесно связанные понятия.Пропорция означает равное соотношение между двумя или более соотношениями. Чтобы понять концепцию соотношения и пропорции, просмотрите разницу между соотношением и пропорцией, указанную здесь.

S.No	Передаточное отношение	Пропорции
1	Соотношение используется для сравнения размера двух предметов в одной и той же единице.	Пропорция используется для выражения отношения двух соотношений.
2	Обозначается двоеточием (:) или косой чертой (/).	Обозначается двойным двоеточием (: 🙂 или равным символу (=)
3	Это выражение.	Это уравнение.
4	Ключевое слово для различения соотношения в проблеме — «к каждому».	Ключевое слово для различения пропорций в задаче — «вне».

Доля Связанные темы

Ниже приводится список тем, которые тесно связаны с Пропорцией в коммерческой математике. Эти темы также дадут вам представление о том, как такие концепции рассматриваются в Cuemath.

Часто задаваемые вопросы о пропорциях

Что вы имеете в виду под коэффициентом?

Отношение — это математическое выражение, записанное в форме a: b, которое выражает часть формы a / b, где a и b — любые целые числа.Например, дробь 1/3 может быть выражена как 1: 3 в форме отношения.

Что такое пропорция в математике?

Пропорция — это математическое сравнение двух чисел. Согласно пропорции, если два набора заданных чисел увеличиваются или уменьшаются в одном и том же соотношении, то говорят, что эти отношения прямо пропорциональны друг другу. Пропорции обозначаются символом «::» или «=». Например, 2: 5 :: 4: 8 или 2/5 = 4/8. Здесь 2 и 8 — крайности, а 5 и 4 — средние.

Как соотношение и пропорции используются в повседневной жизни?

Пропорции и пропорции используются ежедневно. Соотношения и пропорции используются в деловых операциях при работе с деньгами, сравнении количества по цене при совершении покупок и т.д. где говорится, что бизнес получает 2,50 доллара с каждой продажи.

Как узнать, составляют ли два соотношения пропорцию?

Если два отношения эквивалентны друг другу, то говорят, что они пропорциональны.Например, соотношения 1: 2, 2: 4 и 3: 6 являются эквивалентными соотношениями.

Как рассчитать пропорцию?

Пропорция рассчитывается по формуле пропорции, которая гласит: a: b :: c: d или a: b = c: d. Мы читаем это так, как «а» относится к «б», как «с» относится к «г».

Что такое разные типы пропорций?

В зависимости от типа взаимосвязи, которую разделяют два или более количества, пропорции можно разделить на разные типы. Есть два типа пропорций.

• Прямая пропорция — описывает прямую связь между двумя величинами.Проще говоря, если одно количество увеличивается, другое количество также увеличивается, и наоборот.
• Обратная пропорция — описывает косвенную связь между двумя величинами. Проще говоря, если одно количество увеличивается, другое количество уменьшается, и наоборот.

Каковы различные свойства пропорции?

Пропорция устанавливает эквивалентное соотношение между двумя соотношениями. Свойства пропорции, которой следует это отношение:

• Дополнение — Если a: b = c: d, то значение каждого отношения равно a + c: b + d
• Subtrahendo — Если a: b = c: d, то значение каждого отношения равно a — c: b — d
• Дивидендо — Если a: b = c: d, то a — b: b = c — d: d
• Componendo — Если a: b = c: d, то a + b: b = c + d: d
• Alternendo — Если a: b = c: d, то a: c = b: d
• Invertendo — Если a: b = c: d, то b: a = d: c
• Componendo и Dividndo — Если a: b = c: d, то a + b: a — b = c + d: c — d

Разница между пропорциями и соотношениями

В этом уроке мы узнаем о пропорциях , , соотношениях , и их использовании в реальных жизненных ситуациях.

Во-первых, давайте определим соотношение.

Соотношение — это сравнение чисел двух разных вещей.
Например, представьте, что мы смотрим на группу из двенадцати уток и что есть 7 взрослых уток и 5 утят. Соотношение взрослых уток и утят составляет 7: 5 .

Отношения можно записывать с помощью знака «:» (7: 5), можно записывать от 7 до 5 или в виде дроби $ \ frac {7} {5} $.

Эквивалентные соотношения

Вернемся к нашим уткам.Если есть 12 взрослых уток и 6 маленьких утят, соотношение взрослых уток и утят теперь составляет 12: 6. Это дает нам информацию о том, что уток вдвое больше, чем утят. Но соотношение 2: 1 также дает эту информацию, а также 6: 3, 10: 5 и так далее. Эти отношения называются соотношениями эквивалента .

Таким образом, в основном эквивалентные отношения подобны эквивалентным дробям — тем отношениям, которые имеют одинаковое значение.

Равенство между двумя отношениями, a: b и c: d, называется соотношением ($ \ frac {a} {b} = \ frac {c} {d} $).

Самый простой способ — рассматривать дроби. Когда мы укорачиваем обе дроби, они должны быть одинаковыми.

Пример 1:

Кроме того, если у вас более двух соотношений, и вы хотите проверить, пропорциональны ли они, вы делаете это таким же образом. Если какая-либо сокращенная дробь отличается от другой, это означает, что они не пропорциональны.

Пример 2: Допустим, вы открываете собственный бизнес по продаже кексов и шоколадных конфет.В первый день вы продаете 4 маффина и 3 шоколадных конфеты, во второй день 8 маффинов и 6 шоколадных конфет, а на третий день вы продаете 9 маффинов и 6 шоколадных конфет. Внезапно вы начинаете задумываться о пропорциях и спрашиваете себя, пропорциональны ли ваши продажи. Как вы можете это изучить?

Просто представьте все в соотношениях, а затем посмотрите на пропорции.

После этого нужно сократить дроби:

Поскольку все дроби не совпадают, ваша продажа не была пропорциональной.

Есть еще один способ определить, пропорционально что-то или нет. Вы можете использовать свойство пропорций Means-Extremes. Свойство пропорций средних-крайностей позволяет вам пересчитать умножение:

Пример 3:

$ \ frac {5} {6} = \ frac {10} {12} => 5 \ cdot 12 = 10 \ cdot 6 => 60 = 60 $

Пример 4: Пропорциональны ли эти соотношения?

a) 4: 3 и 8: 6 => $ \ frac {4} {3} = \ frac {8} {6} $ (свойство средних-крайностей) $ 4 \ cdot 6 = 8 \ cdot 3 $ => 24 доллара = 24 90 249 долларов Эти соотношения пропорциональны.

b) $ 7: 2 $ и $ 14: 3 $ => $ \ frac {7} {2} $ = $ \ frac {14} {3} $ (свойство средних-крайностей) $ 7 \ cdot 3 = 14 \ cdot 2 $ => $ 21 \ neq 28 $
Эти соотношения не пропорциональны.

c) $ 8: 3 $ и $ 24: 9 $ => $ \ frac {8} {3} $ = $ \ frac {24} {9} $ (означает — свойство крайностей) $ 8 \ cdot 9 = 3 \ cdot 24 $ => $ 72 = 72 $
Эти соотношения пропорциональны.
В пропорциях также могут появляться неизвестные, и они решаются с помощью свойства средних-крайностей.

Пример 5: Найдите $ x: \ frac {x} {5} = \ frac {6} {10} $

Используя свойство средних-крайностей, мы приходим к:

$ 10 \ cdot x = 5 \ cdot 6 $ => $ 10x = 30 $ => $ x = 3 $.

Таблицы пропорций и соотношений

Пропорции — целые числа (176,5 КиБ, 1384 обращений)

Пропорции — Десятичные числа (116,8 КиБ, 947 обращений)

Соотношения и пропорции

— Подготовка к тесту Каплана

Соотношения и пропорции довольно распространены в повседневной жизни. Будь то приготовление двойной партии фрикаделек или расчет шансов на выигрыш в лотерею, вы обнаружите, что пропорции и пропорции неоценимы во множестве ситуаций.

Отношение — это сравнение одной величины с другой. При написании соотношений вы можете сравнить часть группы с другой частью этой группы, или вы можете сравнить часть группы со всей группой. Предположим, у вас есть миска с яблоками и апельсинами. Вы можете записать соотношения, сравнивающие яблоки с апельсинами (часть к части), яблоки с общим количеством фруктов (от части к целому) и апельсины с общим количеством фруктов (от части к целому).
Вы также можете комбинировать соотношения. Если у вас есть два отношения, a : b и b : c , вы можете получить a : c , найдя общее кратное для членов b .Взгляните на следующую таблицу, чтобы увидеть это в действии.

Какое общее кратное у терминов b ? Число 12 — хороший выбор, потому что это наименьшее общее кратное 3 и 4, что избавит от необходимости упрощать в дальнейшем. Куда вы оттуда пойдете? Умножьте каждое соотношение на коэффициент (используйте 3 для a : b и 4 для b : c ), и вы получите b = 12.
Отношение a : c равно 9:20.Обратите внимание, что мы не просто сказали, что a : c равно 3: 5; это было бы неправильно в тестовый день (и, вероятно, ловушка неправильного ответа!).

Пропорция — это просто два равных друг другу соотношения. Пропорции — это эффективный способ решения определенных проблем, но вы должны проявлять осторожность при их настройке. В этом вам поможет наблюдение за единицами измерения каждой части пропорции. Иногда PSAT попросит вас определить, эквивалентны ли определенные пропорции — проверьте это путем перекрестного умножения.Вы получите результаты, которые будет намного проще сравнивать.

[сырой]

Если a / b = c / d, то: ad = bc, a / c = b / d, d / b = c / a, b / a = d / c, НО a / d ≠ c / b

Каждое показанное производное соотношение, кроме последнего, является простой манипуляцией с первым, поэтому все, кроме последнего, верны. Вы можете проверить это с помощью перекрестного умножения ( ad = bc ).

В качестве альтернативы выберите числовые значения для a , b , c и d ; затем упростите и подтвердите, что две стороны уравнения равны.Например, возьмите две эквивалентные дроби 2/3 и 6/9 ( a = 2 , b = 3 , c = 6 , d = 9).

Перекрестное умножение дает 2 × 9 = 3 × 6, что является верным утверждением. Разделение a и b на c и d дает 2/6 = 3/9, также истинно, и так далее. Однако попытка приравнять (a / d) (2/9) и (b / c) (3/6) не сработает.

[/ сырые]

Давайте посмотрим на вопрос, похожий на тест, который включает отношения:

Выполните пошаговые инструкции по математическому методу Каплана, чтобы решить этот вопрос.В следующей таблице слева показано стратегическое мышление Каплана, а справа — предложенные математические задания.

Стратегическое мышление	Математика Scratchwork
Шаг 1. Прочтите вопрос, определяя и систематизируя важную информацию по ходу дела Вам необходимо соотношение метанола и диоксана. Вам даны два соотношения: диоксан к воде и вода к метанолу.	D: W = 7: 3W: M = 5: 2
Шаг 2: Выберите лучшую стратегию для ответа на вопрос Как можно напрямую сравнить метанол с диоксаном? Какое общее кратное у двух компонентов воды? Оба указанных соотношения содержат воду, но компоненты воды не идентичны.Однако у них общий кратный: 15. Умножьте каждое соотношение на коэффициент, который сделает водную часть равной 15. Как выглядит комбинированное соотношение? Объединение двух соотношений позволяет напрямую сравнивать диоксан и метанол.	D: W = 7: 3W: M = 5: 2 общее кратное: 5 x 3 = 15 (7: 3) x 5 = 35:15 (5: 2) x 3 = 15: 6 D: W: M = 35: 15: 6 D: M = 35: 6
Шаг 3. Убедитесь, что вы ответили на вопрос правильно вопрос Вопрос касается метанола и диоксана, поэтому измените соотношение, и все готово. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт